1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. Многокритериальный выбор альтернативы на основе метода попарных сравнений
с учетом приоритетов критериев

Цель занятия: построение иерархического представления проблемы и получение навыков использования метода попарных сравнений в составе модуля принятия решений интеллектуальной информационной системы (ИИС).

1.1. Общие теоретические аспекты

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень.

На рис. 1.1 приведен общий вид иерархии, где Е – элементы иерархии, А – альтернативы. Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс – их порядковый номер.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (см. табл. 1.1). Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение, ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Шкала отношений (степени значимости действий)

Таблица 1.1.

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения не достаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше ненулевых величин	Действию j при сравнении с действием i приписывается обратное дробное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании данной шкалы лицо, принимающее решение, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное дробное значение чисел.

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяются элементы двух типов:

• элементы-«родители»;
• элементы-«потомки».

Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю», который, в свою очередь, может принадлежать любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы.

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е₁ доминирует над элементом Е₂, то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу Е₂, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е₂ и столбцу Е₁, заполняется обратным к нему дробным числом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂. Если элементы Е₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на вопросы:

• Какой из двух сравниваемых элементов важнее?
• Какой более вероятен?
• Какой предпочтительнее и т.п.?

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой, то при сравнении нескольких объектов транзитивная (порядковая) и кардинальная (количественная) однородность могут быть нарушены. Для оценки однородности суждений в методе попарных сравнений используется индекс однородности (ИО) или отношение однородности (ОО), которым соответствуют следующие выражения:

где  – математическое ожидание ИО случайным образом составленной матрицы попарных сравнений А (смотри табл. 1.2); n – порядок матрицы А; - максимальное собственное значение матрицы А.

Математическое ожидание ИО в зависимости от порядка матрицы

Таблица 1.2.

Порядок матрицы (n)		Порядок матрицы (n)		Порядок матрицы (n)
1	0,00	6	1,24	11	1,51
2	0,00	7	1,32	12	1,48
3	0,58	8	1,41	13	1,56
4	0,90	9	1,45	14	1,57
5	1,12	10	1,49	15	1,59

Критерий проверки однородности суждений:     ОО ≤ 0,10.

Если критерий не выполняется, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенных экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Оценки глобального приоритета для каждой из альтернатив () можно определить как сумму произведений значения нормированного собственного вектора матрицы попарных сравнений для критерия () и значения собственного вектора матрицы попарных сравнений альтернатив в отношении данного критерия (), т.е. в данном случае:

Выбранной альтернативой считается альтернатива с максимальным глобальным приоритетом.

Проблема поиска нормированного собственного вектора  и максимального собственного значения матрицы попарных сравнений состоит в нахождении нетривиальных решений системы уравнений, которая может быть интерпретирована как алгебраический эквивалент системы обыкновенных дифференциальных уравнений в явной форме Коши:

где  A – квадратная матрица порядка n; – скаляр, называемый собственным значением. Применим следующий приближенный метод для нахождения и :

Пусть – квадратная матрица размера n,

– оценка собственного вектора матрицы А, где каждый элемент можно определить по следующей формуле: 

Тогда нормированный собственный вектор находится как:

где .

Максимальное собственное значение матрицы А находим как:

Работа выполняется путем анализа заданной самим студентом проблемной задачи. В процессе анализа:

• устанавливается список альтернатив, готовых удовлетворить сформулированные требования, и список критериев, по которым будут сравниваться альтернативы;
• определяются предполагаемые приоритеты важности установленных критериев по отношению к цели;
• составляются матрицы попарных сравнений  альтернатив по каждому из критериев;
• дается оценка однородности суждений;
• устанавливаются нормализованные оценки вектора приоритета.

В качестве примера в подготовленном для проведения лабораторной работы шаблоне Microsoft Excel (файл «lab_iis1.xls») рассмотрено решение следующей проблемной задачи: Выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом:

- определены 5 альтернатив, удовлетворяющие следующим требованиям (лист «Данные» – рис. 1.2):

• предоставление рублевых депозитов с процентной ставкой не менее 9% годовых;
• удобное месторасположение;
• удобный для изучения сайт коммерческого банка.

- очерчен круг критериев, на основании анализа которых будет приниматься решение о выборе банка (лист «Данные»):

• Процентная ставка, %;
• Политика банка;
• Активы банка, млн. руб.;
• Ликвидность (Кл);
• Репутация (2, 3, 4, 5).

- определены значения математического ожидания ИО из таблицы 1.2 (лист «Данные»):

• _.=1,12 (размер матрицы альтернатив 5 на 5);
• _крит.=1,12 (размер матрицы критериев 5 на 5).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений для критериев и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Критерии» – рис. 1.3).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений альтернатив по отношению к критерию «Процентная ставка» и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Кр1» – рис. 1.4).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений альтернатив по отношению к критерию «Политика банка» и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Кр2» – рис. 1.5).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений альтернатив по отношению к критерию «Активы банка» и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Кр3» – рис. 1.6).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений альтернатив по отношению к критерию «Ликвидность» и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Кр4» – рис. 1.7).

- получены числовые оценки матрицы попарных сравнений альтернатив по отношению к критерию «Репутация» и проведен анализ однородности представленных суждений (лист «Кр5» – рис. 1.8).

- определены оценки глобального приоритета для каждой из альтернатив (лист «Результат» – рис. 1.9).

1.1.1.Порядок действий при выполнении лабораторной
работы №1

1. Открыть в пакете Microsoft Excel файл lab_iis1.xls. Перейти на лист «Данные». В таблицу «Критерии» (ячейки B4:C8) ввести свои наименования критериев. Добавить 6-й критерий. В таблицу «Альтернативы» (ячейки B11:C15) ввести наименования рассматриваемых альтернатив (не более четырех). В зависимости от порядка матриц попарных сравнений для критериев и альтернатив (ячейки D20, D23) по таблице 1 выбрать требуемые значения  (ячейки D21, D24).

2. Перейти на лист «Критерии». Матрицу попарных сравнений (ячейки B3:G8) расширить, добавив информацию о 6-м критерии. Расставить приоритеты. Внести соответствующие изменения в формулы расчета  и ИО (ячейки D26, D27). Удостовериться, что выполняется критерий проверки однородности суждений (ОО ≤ 0,10), иначе скорректировать матрицу попарных сравнений.

3. Перейти на лист «Кр1». Составить собственную информационную таблицу (ячейки B2:G7) выявленных (на основе источников информации) значений (качественных или количественных) анализируемого критерия для всех альтернатив. Уменьшить матрицу попарных сравнений альтернатив (ячейки B9:I15) согласно количеству рассматриваемых альтернатив. Расставить приоритеты. Внести соответствующие изменения в формулы расчета  и ИО (ячейки D19, D20). Удостовериться, что выполняется критерий проверки однородности суждений (ОО ≤ 0,10), иначе скорректировать матрицу попарных сравнений.

4. Повторить пункт 3 для листов «Кр2», «Кр3», «Кр4» и «Кр5». Добавить лист «Кр6» (в меню Вставка пункт Лист). По аналогии с предыдущими листами сделать анализ альтернатив по шестому критерию.

5. Перейти на лист «Результат». Изменить сводную таблицу (ячейки B3:H11), добавив полученные данные по шестому критерию и убрав лишние альтернативы. Сделать вывод.

1.2.2. Требования к отчету по лабораторной работе №1

1.  Титульный лист, содержание.

2. Краткое описание проблемной задачи и ее иерархическое представление.

3. Анализ приоритетности критериев, полученная матрица попарных сравнений критериев, расчет нормированного собственного вектора  данной матрицы и оценка однородности суждений.

4. Анализ альтернатив по каждому критерию, полученные матрицы попарных сравнений альтернатив по каждому критерию, расчет нормированных собственных векторов  данных матриц и оценка однородности суждений.

5. Расчет глобального приоритета . Выбор альтернативы. Комментарии к полученным результатам.